Metrika članka

  • citati u SCindeksu: 0
  • citati u CrossRef-u:0
  • citati u Google Scholaru:[=>]
  • posete u poslednjih 30 dana:20
  • preuzimanja u poslednjih 30 dana:8
članak: 1 od 9  
Back povratak na rezultate
Inovacije u nastavi - časopis za savremenu nastavu
2020, vol. 33, br. 1, str. 1-20
jezik rada: engleski
vrsta rada: izvorni naučni članak
objavljeno: 26/07/2020
doi: 10.5937/inovacije2001001D
Creative Commons License 4.0
Povezanost slikovnih i pojmovnih svojstava ugla i kocke u geometrijskom rezonovanju budućih učitelja
Univerzitet u Beogradu, Učiteljski fakultet

e-adresa: olivera.djokic@uf.bg.ac.rs

Projekat

Koncepcije i strategije obezbeđivanja kvaliteta bazičnog obrazovanja i vaspitanja (MPNTR - 179020)

Sažetak

Polazište ovog rada predstavljaju uloga i vrednost istorije geometrije u matematičkom obrazovanju, oslanjajući se na Fišbajnovu teoriju figuralnih pojmova - prva istorijska tačka sa kojom pravimo kopču su teoreme Eudema sa Rodosa i Talesa iz Mileta, dok je druga tačka elaboriranje navedenih teorema kroz rad srpskog matematičara Mihaila Petrovića Alasa. Fišbajnova teorija se uglavnom bazira na pretpostavci da geometrija operiše mentalnim entitetima, takozvanim geometrijskim objektima, koji istovremeno poseduju pojmovna (npr. idealna, apstraktna, opšta) i slikovna svojstva (npr. oblik, položaj, veličina). U matematici definicija objekta izvodi se direktno ili deduktivnim dokazom, što znači da i interpretacija slikovnih komponenti geometrijskih objekata u potpunosti treba da bude podvrgnuta formalnim ograničenjima koja proističu iz definicija. Međutim, Viner i Hershkovic (vidi u Dreyfus, 2014: 50) ističu da geometrijsko rezonovanje učenika ne mora nužno da bude zasnovano na definicijama, već na prototipskim primerima. U ovom radu istražili smo različite primere iz istorije geometrije u matematičkom obrazovanju u kojima postoji situacija da slika ili ne-prototipski primer dovode do unutrašnje tenzije zasnovane na stvarnom konceptualnom razumevanju objekta, odnosno, do situacije u kojoj slika dominira nad formalnom definicijom. Pojmovna slika (Vinner, Hershkowitz, Tall, vidi u Dreyfus, 2014: 5), definisana kao sveukupna kognitivna struktura koja je u umu pojedinca povezana sa pojmom (npr. slike, primeri, reči), može da odstupa od formalne definicije pojma (Dreyfus, 2014). Prema Fišbajnu, integracija pojmovnih i slikovnih svojstava objekata, u kojoj pojmovna ograničenja dominiraju nad slikovnim, nije prirodan proces. Viner, Hershkovic i Tal smatraju da u matematičkom obrazovanju mora da se pravi razlika između kognitivnih procesa koji dovode do stvaranja pojmova i formalno definisanih matematičkih pojmova. Ovaj proces zahteva kontinuirano, sistematično i temeljno pripremanje nastavnika. Konfliktne situacije treba da pokažu učenicima kako da pažljivo slede zahteve koje nameću definicije, što ponekad može biti u suprotnosti sa onim što slike prikazuju (ili nameću). Cilj istraživanja je ispitivanje geometrijskog rezonovanja budućih učitelja u vezi sa povezanošću slikovnih (figuralnih) i pojmovnih svojstava geometrijskih objekata. Formulisana su dva istraživačka zadatka: 1) utvrditi da li slikovna struktura ugla dominira u geometrijskom rezonovanju budućih učitelja nad formalnim ograničenjima pojma i 2) ispitati u kojim situacijama slika može da olakša rezonovanje budućih učitelja pri rešavanju zadataka u kojim jedan od dva gore pomenuta aspekta dominira nad drugim. Neslučajni prigodni uzorak istraživanja čine 64 studenta završne godine Učiteljskog fakulteta u Beogradu (budući učitelji). U istraživanju su korišćene deskriptivna metoda i tehnika testiranja. Dobijeni rezultati analizirani su kvalitativno i kvalitativno. Istraživački postupak operacionalizovan je kroz četiri zadatka. U prvom zadatku, od studenata se tražilo da napišu definiciju ugla i da odrede koje tačke pripadaju uglu sa slike u dva primera, od kojih je prvi prototipski prikaz ugla, a drugi je prikaz ugla u okviru pravougaonika. U drugom zadatku trebalo je označiti zajedničku tačku između dva objekta: prave i duži, dve poluprave, i dve duži. Treći i četvrti zadatak odnosili su se na mrežu kocke i od studenata se tražilo da zamisle kako bi mreža izgledala da je sklopljena u kocku. Poslednja dva zadatka su ponovljena, uz dodatnu instrukciju: studenti su morali da nacrtaju i označe sklopljenu mrežu kocke. Rezultati istraživanja pokazuju da figuralna (slikovna) struktura ugla dominira u geometrijskom rezonovanju budućih učitelja nad formalnim ograničenjima pojma. Čak i onda kada su studenti uspešno definisali ugao i uvideli da postoje različite vrste ugla, kada posmatraju sliku, ne pokazuju da su razumeli pojam ugla. Pored toga, studenti su bili znatno uspešniji prilikom određivanja tačaka koje pripadaju prototipskoj slici ugla, nego u određivanju tačaka koje pripadaju uglu u okviru geometrijske figure. Kada je reč o drugom istraživačkom zadatku, uočene su određene razlike u situacijama kada je slika bila od pomoći studentima u rešavanju zadataka koji su se odnosili na mrežu kocke i kocku. U težem zadatku (od studenata se tražilo da odrede ivice i temena koja se preklapaju) slika nije pomogla studentima da postignu bolji rezultat, dok su u rešavanju lakšeg zadatka (o stranama kocke) postigli znatno bolji rezultat, što dovodi do zaključka da ovakvi zadaci pružaju priliku budućim učiteljima da razviju matematičko rezonovanje, dok im slika može biti od koristi samo u određenim i manje složenim situacijama. Naš zaključak je da je neophodno raditi na figuralnim (slikovnim) i pojmovnim aspektima geometrijskih objekata kako bi se razrešile situacije sa unutrašnjom tenzijom i ojačalo razumevanje korelacije između figuralnih i pojmovnih svojstava u okviru početne nastave geometrije. Pored toga, budući da znanje učitelja utiče na kreiranje instrukcija, važno je da oni budu upoznati sa ključnim svojstvima geometrijskih objekata, da razumeju definicije i njihovu ulogu u matematici, kao i da umeju da izaberu odgovarajuće primere koji utiču na planiranje nastavnih aktivnosti koje se odnose na geometrijske objekte.

Ključne reči

istorija geometrije; figuralni pojam; geometrijska definicija; instrukcija; geometrijsko rezonovanje

Reference

Al-Murani, T., Kilhamn, C., Morgan, D., Watson, A. (2019) Opportunities for learning: The use of variation to analyse examples of a paradigm shift in teaching primary mathematics in England. Research in Mathematics Education, 21(1): 6-24
Andrić, V. (2018) Pedagogical Work of Mihailo Petrović Alas (1868-1943): On the occasion of Mihailo Petrović's 150th anniversary. Teaching of Mathematics, 21 (1), 29-37, retrieved November 13, 2019. from http://www.teaching.math.rs/vol/tm2113.pdf
Bingolbali, E., Monaghan, J. (2008) Concept image revisited. Educational Studies in Mathematics, 68(1): 19-35
Cohen, J.W. (1988) Statistical power analysis for the behavioral sciences. Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum Associates
Dejić, M. (2013) Broj, mera, bezmerje. Beograd: Učiteljski fakultet
Dejić, M. (2001) Prikaz manje poznatih radova Mihaila Petrovića Alasa, namenjenih nastavnicima i učenicima osnovnih i srednjih škola. Pedagoška stvarnost, 47(7-8): 612-623
Dejić, M. (2020) Mihailo Petrović Alas's contribution to development of interest for mathematics. Teaching Innovations, 33(1): 97-106
Dreyfus, T. (2014) Solid findings: Concept images in students' mathematical reasoning. Newsletter of the European Mathematical Society, 93: 50-52
Duval, R. (1998) Geometry from a cognitive point of view. u: Mammana C; Villani V. [ur.] Perspectives on the teaching of geometry for the 21st century, Dordrecht: Kluwer, 37-52
Đokić, O. (2017) Realno okruženje u početnoj nastavi geometrije. Beograd: Učiteljski fakultet
Đokić, O., Jelić, M., Ilić, S. (2019) The relationship between images and concepts in the initial geometry teaching. u: Lawrence S; Mihajlović A; Đokić O. [ur.] Proceedings of the Training Conference History of Mathematics in Mathematics Education, October 26-30, 2018, Jagodina, Serbia, Jagodina: Fakultet pedagoških nauka, 29-40
Đokić, O., Zeljić, M. (2017) Teorije razvoja geometrijskog mišljenja prema Van Hilu, Fišbajnu i Hudemon-Kuzniaku. Teme, vol. 41, br. 3, str. 623-637
Edwards, B.S., Ward, M.B. (2004) Surprises from mathematics education research: Student (mis)use of mathematical definitions. American Mathematical Monthly, 111(5): 411-424
Edwards, B.S., Ward, M.B. (2008) The role of mathematical definitions in mathematics and in undergraduate mathematics courses. u: Carlson M; Rasmussen C. [ur.] Making the connection: Research and teaching in undergraduate mathematics education, The Mathematical Association of America, 223-232
Fischbein, E. (1993) The theory of figural concepts. Educational Studies in Mathematics, 24(2): 139-162
Fischbein, E., Nachlieli, T. (1998) Concepts and figures in geometrical reasoning. International Journal of Science Education, 20(10): 1193-1211
Franke, T.M., Ho, T., Christie, C.A. (2012) The Chi-Square Test: Often used and more often misinterpreted. American Journal of Evaluation, 33(3): 448-458
Furinghetti, F. (2019) Rethinking history and epistemology in mathematics education. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 1-28
Gal, H., Linchevski, L. (2010) To see or not to see: Analyzing difficulties in geometry from the perspective of visual perception. Educational Studies in Mathematics, 74 (2), 163-183
Gulikers, I., Blom, K. (2001) A historical angle: A survey of recent literature on the use and value of history in geometrical education. Educational Studies in Mathematics, 47 (2), 223-258
Guo, J., Pang, M. (2011) Learning a mathematical concept from comparing examples: The impotance of variation and prior knowledge. European Journal of Education, 26 (4), 495-525
Hershkowitz, R. (1987) The aquisition of concepts and misconception in basic geometry: Or when 'a little learning is a dangerous thing'. u: Novak J. [ur.] Proceedings of the second international seminar: Misconceptions and Educational Strategies in Science and Mathematics, 26-29 July, 1987, Ithaca, NY: Cornell University, 3 (238-252)
Kidron, I. (2011) Constructing knowledge about the notion of limit in the definition of the horizontal asymptote. International Journal of Science and Mathematics Education, 9(6): 1261-1279
Lawrence, S. (2014) Mathematics education in the Balkan societies up to the WWI. Teaching Innovations, 27(3): 46-57
Lemonidis, C. (1997) A few remarks regarding the teaching of geometry, through a theoretical analysis of the geometrical figure. Nonlinear Analysis, 30(4): 2087-2095
Shimizu, S., et al. (2012) Fun with math for elementary school: Grade 4, part B. Osaka, Japan: Keirinkan
Sinclair, N., Bruce, C.D. (2015) New opportunities in geometry education at the primary school. ZDM Mathematics Education, 47(3): 319-329
Tsamir, P., Tirosh, D., Levenson, E., Barkai, R., Tabach, M. (2015) Early-years teachers' concept images and concept definitions: Triangles, circles, and cylinders. ZDM Mathematics Education, 47(3): 497-509
Vinner, S. (2018) Mathematics, education, and other endangered species: From intuition to inhibition. Springer International Publishing
Walshaw, M. (2018) Epistemological Questions About School Mathematics. u: Ernest, P. [ur.] ICME-13 Monographs: The Philosophy of Mathematics Education Today, Springer International Publishing, 161-171