Metrika članka

  • citati u SCindeksu: 0
  • citati u CrossRef-u:0
  • citati u Google Scholaru:[=>]
  • posete u poslednjih 30 dana:18
  • preuzimanja u poslednjih 30 dana:7
članak: 3 od 9  
Back povratak na rezultate
Inovacije u nastavi - časopis za savremenu nastavu
2020, vol. 33, br. 1, str. 36-56
jezik rada: engleski
vrsta rada: pregledni članak
objavljeno: 26/07/2020
doi: 10.5937/inovacije2001036L
Creative Commons License 4.0
Brojevna prava u istoriji matematike i matematičkom obrazovanju
aUniverzitet Zapadne Makedonije, Fakultet društveno-humanističkih nauka, Odsek za osnovno obrazovanje, Florina, Grčka
bČetvrta gimnazija Evozmos, Solun, Grčka

e-adresa: xlemon@uowm.gr

Sažetak

U ovom radu prvo predstavljamo istraživanja vezana za temu rada i analiziramo vrste brojevnih pravih, a potom predstavljamo dva istraživanja u kojima su iz ugla istorijskog razvoja ispitivani elementi brojevne prave, pravac prostiranja i negativni brojevi. U radu zatim vršimo istorijsku analizu evolucije pojma brojevne prave i predstavljamo teškoće sa kojima se učenici suočavaju prilikom njene upotrebe, dok kroz prikaz istorijskog razvoja brojevne prave pokušavamo da sagledamo ove teškoće u odnosu na četiri kritične tačke u tom razvoju. 1. period. Razvoj matematike do Euklida: Razdvajanje brojeva od prave U antičkoj Grčkoj je u matematici postojala jasna razlika između broja i veličine. Brojevi (prirodni brojevi) bili su jednostavne kolekcije diskretnih jedinica koje su merile mnoštvo. S druge strane, veličina je obično opisivana kao neprekidni kvantitet podeljen na delove koji se beskonačno može deliti. Ova razlika između broja i veličine dovela je do pravljenja razlike između aritmetike i geometrije. Aritmetika se bavila diskretnim ili ograničenim kvantitetom, a geometrija kontinuiranim ili proširenim kvantitetom. Usled ove razlike mnogi matematički problemi rešavani su na različite načine. 2. period. Do 16. veka: Osnove celih brojeva - Racionalni brojevi - Empirijska geometrija U periodu od 12. do 16. veka uočava se orijentacija ka empirijskoj geometriji, kao i njen odnos prema metodama računanja i upotrebi alata za merenje. Mihail Štifel (1487-1567) je prvi matematičar koji je negativne brojeve definisao kao brojeve manje od nule, a pozitivne brojeve kao brojeve veće od nule. Prvi je i opisao nulu, kao i racionalne i iracionalne brojeve. U toku 16. veka došlo je do promene klasičnog shvatanja pojma broja i veličine. Fransoa Vijet (1540-1603) je uveo nove simbole za označavanje nepoznatih veličina i brojeva, tvrdeći da su brojevi i veličine međusobno zamenljivi. Iz ovako shvaćenog odnosa između brojeva i veličina razvila se ideja da se brojevi takođe mogu smatrati kontinuiranim, u duhu Aristotelovog poimanja neprekidnosti. Međutim, čak i tokom celog ovog perioda nije uveden pojam brojevne prave niti je došlo do povezivanja svake tačke sa određenim brojem. Uprkos tome, neki matematičari su počeli da uočavaju elemente koji tako nešto omogućavaju. 3. period. Od 17. do početka 19. veka: Prvo povezivanje brojeva i geometrijskih duži - algebarizacija geometrije Ideja o brojevnoj pravoj nije zaživela među matematičarima sve do kraja 16. veka. Međutim, pojam brojevne prave počinje da se pojavljuje u radovima nekih od pionira matematike u 17. veku. Džon Valis (1685) je prvi upotrebio brojevnu pravu u svom delu Traktat o algebri (Treatise of Algebra), kako bi protumačio sabiranje i oduzimanje negativnih brojeva. Razvoj algebarskih simbola i povezivanje krive sa njoj odgovarajućim jednačinama dovelo je Dekarta do algebarizacije geometrije uz pomoć koordinatnog sistema. Dekart u svom radu ne koristi termine kao što su apscisa, ordinata i osa. Dekart nije uveo pojam brojevne prave kroz otkriće koordinatnog sistema u svom radu Geometrija (La Géométrie) iz 1637. godine, s obzirom na činjenicu da on nikada ne spominje pojam ose, niti su ose ili sistem koordinata prikazani na njegovim ilustracijama, čak ni onda kada jasno određuje vrednosti pojedinih veličina. Brojevna prava se prvi put spominje u prvoj polovini 19. veka u delu Ernesta Gotfrida Fišera (1754-1831). Fišer se bavio neograničenim negativnim i pozitivnim kvantitetima. On eksplicitno povezuje svaku tačku na osi apscise sa vrednostima x i odgovarajuću tačku na osi ordinate. 4. period. Od početka 19. veka do danas: Formulisanje pojma brojevne prave Prvi pokušaj da se razvije teorija realnih brojeva je napravljena ranih tridesetih godina 19. veka od strane Bolcana, koji je realne brojeve video kao granične vrednosti nizova racionalnih brojeva. Otprilike u isto vreme, Rouan Hamilton (1805-1865) pokušava da definiše realne brojeve, ali nije uspeo da prevaziđe logiku koju su nametala ustaljena shvatanja u geometriji. U svom nastojanju da zasnuje granični račun isključivo na pojmu broja, Karl Vajerštras (1855-1897) smatra da treba da definiše iracionalne brojeve nezavisno od pojma granične vrednosti. Stoga je sam konvergentni niz smatrao brojem ili graničnom vrednošću i definisao je iracionalne brojeve kao skupove racionalnih brojeva, pre nego uređene nizove racionalnih brojeva. Georg Kantor (1845-1918) je 1871. godine stvorio novu koncepciju broja, sličnu sa koncepcijom Merea i Vajerštrasa. U isto vreme, Hajne (1821-1881) je predložio određena pojednostavljenja koja su dovela do takozvanog Kantor-Hajneovog razvoja, koji podseća na Mereov u kome konvergentni nizovi koji ne konvergiraju ka racionalnim brojevima se uzimaju kao definicija iracionalnih brojeva. Dedekind je pokušao da da jasnu definiciju neprekidnosti, prvo za tačke na pravoj liniji, a zatim i za skup brojeva polazeći od skupa racionalnih brojeva, a nakon što je primetio da svojstva poretka racionalnih brojeva odgovaraju relacijama između tačaka na pravoj liniji. Dedekind je smatrao da se skup racionalnih brojeva može proširiti do neprekidnog skupa realnih brojeva ako se prihvati Kantor-Dedekindov princip prema kome se tačke na pravoj liniji mogu jedan-jedan preslikavanjem povezati sa realnim brojevima. Iz ovoga proističe zasnivanje brojevne prave u današnjoj formi. Pre svega, primetimo da matematička integracija i zasnivanje pojma brojevne prave u današnjem smislu se u istoriji matematike odigravala veoma sporo. Kao što smo mogli da vidimo, zahvaljujući postavkama Dedekinda i Kantora krajem 19. i početkom 20. veka, mi sada smatramo da postoji jedan-jedan povezivanje između tačaka na pravoj i brojeva u skupu realnih brojeva. To samo po sebi ukazuje da je, iako pojam brojevne prave izgleda jednostavan za razumevanje, za formulisanje njenog današnjeg oblika trebalo mnogo vremena. Kritičnim tačkama u uobličavanju pojma brojevne prave tokom istorije matematike možemo smatrati razdvajanje broja od veličine ili razdvajanje brojeva od prave. Ovakvo prethodno opisano razdvajanje se može primetiti u greškama koje prave učenici koji često sagledavaju brojeve odvojeno od mera na brojevnoj pravoj. Drugu kritičnu tačku u istorijskoj evoluciji, koja takođe predstavlja i teškoću za učenike, čine negativni brojevi i orijentisanost na brojevnoj pravoj u pozitivnom ili negativnom smeru. Treća kritična tačka je gustina racionalnih brojeva i dodatni jedinični intervali potrebni da bi se oni prikazali na brojevnoj pravoj. Ovo se pojavilo kao problem za učenike kada su trebali da smeste razlomke na brojevnoj pravoj, i racionalne brojeve uopšte, gde je neophodno odrediti dodatne jedinične intervale kao npr. za interval ¼ čime bi se odredio razlomak ¾ na brojevnoj pravoj. Četvrta kritična tačka se fokusira na gustinu iracionalnih brojeva, razdvojenost racionalnih od iracionalnih brojeva, i predstavljanje iracionalnih brojeva na brojevnoj pravoj. U ovom radu analizirali smo teškoće koje učenici i nastavnici matematike imaju baveći se gustinom i razdvojenošću racionalnih od iracionalnih brojeva, kao i predstavljanjem iracionalnih brojeva na brojevnoj pravoj. Kao što smo ranije istakli, i pozivajući se na istorijske izvore, do identifikovanja realnih brojeva i njihovog pridruživanja sa tačkama na brojevnoj pravoj došlo je vrlo kasno, tek krajem 19. i početkom 20. veka.

Ključne reči

brojevna prava; istorijska evolucija; epistemološka prepreka; predstavljanje pojmova

Reference

Amadeo, M. (2018) Textbooks revealing the development of a concept: The case of the number line in the analytic geometry: 1708-1829. ZDM, 50(5): 907-920
Bachelard, G. (1938) La formation de l'esprit scientifique. Paris: J Vrin
Beishuizen, M. (1999) The empty number line as a new model. u: Thompson I. [ur.] Issues in teaching numeracy in primary schools, Buckingham: Open University Press, 157-168
Boyer, C.B., Merzbach, U.C. (1997) E istorίa ton mathematicώn / the history of mathematics. Athήna: Pneymaticόs, in Greek
Bright, G.W., Behr, M.J., Post, T.R., Wachsmuth, I. (1988) Identifying fractions on number lines. Journal for Research in Mathematics Education, 19(3): 215-232
Brousseau, G. (1976) Les obstacles épistémologiques et les problèmes en mathématiques. u: Comptes-rendus de la XXVIII-ème rencontre organisée par la Commission Internationale pour l'Etude et l'Amélioration de l'Enseignement des Mathématiques, Louvain-la-Neuve, 101-117
Brousseau, G. (1983) Les obstacles épistémologiques et les problèmes en mathématiques. Rech Didact Math, 4(2): 165-198
Bunt, L.N.H., Jones, P.S., Bedient, J.D. (1981) Oi istoricέs rίzes ton stoicheiodώn mathematicώn / the historical roots of elementary mathematics. Athήna: Pneymaticόs, in Greek
Chambers, E. (1728) Cyclopaedia: or an universal dictionary of arts and sciences. London, Vol. 1-2, printed for James and John Knapton
Clarke, D.M., Roche, A., Mitchell, A. (2007) Year six fraction understanding: A part of the whole story. u: Watson J; Beswick K. [ur.] Proceedings of the 30th annual conference of the Mathematics Education Research Group of Australasia (MERGA): Mathematics: Essential research, essential practice, Sydney, Vol. 1: 207-216
Crossley, J.N. (1987) The emergence of number. World Scientific Publishing Co Pte Ltd
Dickinson, P., Eade, F. (2004) Using the number line to investigate the solving of linear equations. For the Learning of Mathematics, 24(2): 41-47
Diezmann, C.M., Lowrie, T., Sugars, L. (2010) Primary students' success on the structured number line. Australian Primary Mathematics Classroom, 15(4): 24-28
Diezmann, C.M., Lowrie, T. (2006) Primary students' knowledge of and errors on number lines. u: Grootenboer P; Zevenbergen R; Chinnappan M. [ur.] Proceedings of the 29th annual conference of the Mathematics Education Research Group of Australasia: Identities, cultures, and learning spaces, Sydney: MERGA, 171-178
Duroux, A. (1983) La valeur absolue: difficultés majeures pour une notion mineure. Petit x, 3
Duval, R. (1988) Graphiques et equations: l'articulation de deux registres. Annales de Didactique et de Sciences Cognitives, (1): 235-255
Duval, R. (1999) Representation, vision and visualization: Cognitive functions in mathematical thinking: Basic issues for learning. u: Hitt F; Santos M. [ur.] Proceedings of the Twenty First Annual Meeting of the North American Chapter of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, Columbus, OH: Clearinghouse for Science, Mathematics, and Environmental Education
Eves, H.W. (1997) Foundations and fundamental concepts of mathematics. Mineola, New York: Dover Publications, Inc
Fischbein, E. (1987) Intuition in science and mathematics. Dordrecht, Netherlands: Kluwer Academic Publishers
Fischbein, E., Jehiam, R., Cohen, D. (1995) The concept of irrational numbers in high-school students and prospective teachers. Educational Studies in Mathematics, 29(1): 29-44
Giannakoulias, E., Souyoul, A., Zachariades, T. (2007) Students' thinking about fundamental real numbers properties. u: Pitta-Pantazi D; Philippou G. [ur.] Proceedings of the Fifth Congress of the European Society for Research in Mathematics Education, Cyprus: ERME, 426-425
Glaeser, G. (1981) Epistémologie des nombres relatifs. Rech Didact Math, 2(3): 303-346
Gray, E., Doritou, M. (2008) The number line: Ambiguity and interpretation. u: Figueras O; Cortina J.L; Alatorre S; Rojano T; Sepu'lveda A. [ur.] Proceedings of the joint Meeting of PME 32 and PME-NA XXX, Mexico: Cinvestav-UMSNH, Vol. 3 (97-104)
Hannula, M.S. (2003) Locating fractions on a number line. u: Pateman N.A; Dougherty B.J; Zilliox J.T. [ur.] Proceedings of the 27th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education held jointly with the 25th Conference of PME-NA, Honolulu, HI: PME, Vol. 3: 3-24
Hannula, M.S., Pehkonen, E., Maijala, H., Soro, R. (2006) Levels of students' understanding on infinity. Teaching Mathematics and Computer Science, 4(2): 317-337
Heefer, A. (2011) Historical objections against the number line. Science & Education, 20(9): 863-880
Katz, U.K., Katz, G. M. (2012) Stevin numbers and reality. Foundations of Science, 17(2): 109-123
Kidron, I. (2016) Understanding irrational numbers by means of their representation as non-repeating decimals. u: Nardi E; Winsløw C; Hausberger T. [ur.] First conference of International Network for Didactic Research in University Mathematics, Mar 2016, Montpellier, France, 73-83, hal-01337883f
Lemonidis, C. (1990) Conception, réalisation et résultats d'une expérience d' enseignement de l'homothétie. Université Louis Pasteur - I.R.E.M. de Strasbourg, Thèse de Doctorat
Lemonidis, C. (1991) Analyse et réalisation d'une expérience d'enseignement de l'homothétie. Recherches en Didactique des Mathématiques (R.D.M), 11 (2-3), 295-324
Lemonidis, C., Tsakiridou, H., Meliopoulou, I. (2018) In-Service Teachers' Content and Pedagogical Content Knowledge in Mental Calculations with Rational Numbers. International Journal of Science and Mathematics Education, 16 (6), 1127-1145
Lowrie, R., Diezmann, C.M. (2005) Fourth-grade students' performance on graphical languages in mathematics. u: Chick H. L; Vincent J. L [ur.] Proceedings of the 30th Annual Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (PME), Melbourne, Vol 3: 265-272
Mitchell, A., Horne, M. (2008) Fraction number line tasks and the additivity concept of length measurement. u: Proceedings of the 31st annual conference of the mathematics education research group of Australasia, 353-360
Mpantes, G. (2013) Dedekind, continuity and infinity, cuts Dedekind / O Dedekind, e synέcheia cai to άpeiro, tomέs Dedekind. Retrieved from: https://www.scribd.com/doc/147611828/, last access to, 21/06/2019. [in Greek]
Murphy, C. (2011) Comparing the use of the empty number line in England and the Netherlands. British Educational Research Journal, 37(1): 147-161
Murphy, C. (2008) The use of the empty number line in England and the Netherlands. Proceedings of PME, 32 (4), 9-16
Neal, K. (2002) From discrete to continuous: The broadening of number concepts in early modern England. Melbourne: University of Melbourne, R.W Home
Núñez, R.E. (2011) No innate number line in the human brain. Journal of Cross-Cultural Psychology, 42(4): 651-668
Pearn, C., Stephens, M. (2007) Whole number knowledge and number lines help develop fraction concepts. u: Watson J; Beswick K. [ur.] Proceedings of the 30th annual conference of the Mathematics Education Research Group of Australasia (MERGA): Mathematics: Essential research, essential practice, Hobart-Sydney, Vol. 2 (601-610)
Petit, M.M., Laird, R.E., Marsden, E.L., Ebby, C.B. (2010) A focus on fractions: Bringing research to the classroom. London: Routledge
Petitto, A. (1990) Development of numberline and measurement concepts. Cognition and Instruction, 7(1): 55-78
Pycior, H. (1987) British abstract algebra: Development and early reception. u: Cahiers d'Histoire et de Philosophie des Sciences, 21, 152-168
Roque, T. (2012) Historia da matematica: uma visgo critica, desfazendo mitos e lendas. Rio de Janeiro: Jorge Zahar
Saxe, G.B., Shaughnessy, M.M., Shannon, A., Langer-Osuna, J.M., Chinn, R., Gearhart, M. (2007) Learning about fractions as points on a number line. u: Martin W.G; Strutchens M.E; Elliott P.C. [ur.] The learning of mathematics: Sixty-ninth yearbook, Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics, 221-237
Schubring, G. (2005) Conflicts between generalization, rigor, and intuition: Number concepts underlying the development of analysis in 17-19th century France and Germany. New York: Springer
Schubring, G. (1986) Ruptures dans le statut mathématique des nombres négatifs. Petit x, 12: 5-32
Sinkevich, G. (2015) On the history of number line. Saint Petersburg: Saint Petersburg State University of Architecture and Civil Engineering - Department of Mathematics, Retrieved January 18, 2020 from www: https://www.academia.edu/20922833/On_the_history_of_number_line
Sirotic, N., Zazkis, R. (2007) Irrational numbers on the number line: Where are they?. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 38(4): 477-488
Skoumpourdi, C. (2010) The number line: An auxiliary means or an obstacle?. International Journal for Mathematics Teaching and Learning (Electronic Journal)
Struik, D.J. (1982) A Brief History of Mathematics / Synopticή istorίa ton Mathematicώn. Athήna: Zacharόpoylos, in Greek
Teppo, A., van den Heuvel-Panhuizen, M. (2014) Visual representations as objects of analysis: The number line as an example. ZDM, 46(1): 45-58
Thomaidis, Y. (1995) Didactic transposition of mathematical concepts and learning obstacles: The case of absolute value. Greece: Aristotle University of Thessaloniki, doctoral thesis [in Greek]
Thomaidis, Y., Tzanakis, C. (2007) Historical evolution and students' conception of the order relation on the number line: The notion of historical 'parallelism' revisited. Educational Studies in Mathematics, 66: 165-183
Tirosh, D., Stavy, R. (1996) Intuitive rules in science and mathematics: The case of 'Everything can be divided by two'. International Journal of Science Education, 18(6): 669-683
Treffers, A. (1993) Wiskobas and Freudenthal: Realistic mathematics education. Educational Studies in Mathematics, 25 (1-2), 89-108
Vamvakoussi, X., Vosniadou, S. (2007) How many numbers are there in an interval?: Presuppositions, synthetic models and the effect of the number line. u: Vosniadou S; Baltas A; Vamvakoussi X. [ur.] Reframing the conceptual change approach in learning and instruction, Oxford, UK: Elsevier, 267-283
Vamvakoussi, X., Vosniadou, S. (2004) Understanding the structure of the set of rational numbers: A conceptual change approach. Learning and Instruction, 14(5): 453-467
Vamvakoussi, X., Vosniadou, S. (2010) How many decimals are there between two fractions?: Aspects of secondary school students' understanding of rational numbers and their notation. Cognition and Instruction, 28(2): 181-209
Vamvakoussi, X., Vosniadou, S. (2012) Bridging the gap between the dense and the discrete: The number line and the 'rubber line' bridging analogy. Mathematical Thinking and Learning, 14(4): 265-284
van den Heuvel-Panhuizen, M. (2008) Learning from 'Didactikids': An impetus for revisiting the empty number line. Mathematics Education Research Journal, 20 (3), 6-31
van den Heuvel-Panhuizen, M. (2003) The didactical use of models in realistic mathematics education: An example from a longitudinal trajectory on percentage. Educational Studies in Mathematics, 54 (1), 9-35
van der Waerden, B.L. (1985) A history of algebra: From al-Khwarizmi to Emmy Noether. Berlin: Springer-Verlag
Waerden, B.L. (1985) A history of algebra: From Al-Khwārizmī to Emmy Noether. Springer
Wilder, L.R. (1986) Exέlixe ton mathematicώn ennoiώn / The evolution of mathematical concepts. Athήna: The Open University, in Greek